Пропорция правила

6.1.1. Пропорция. Основное свойство пропорции

Равенство двух отношений называют пропорцией.

Тема: «Отношение» рассмотрена на предыдущем занятии («6.1. Отношение»).

a : b = c : d . Это пропорция. Читают: а так относится к b , как c относится к d . Числа a и d называют крайними членами пропорции, а числа b и cсредними членами пропорции.

Пример пропорции: 1 2 : 3 = 16 : 4 . Это равенство двух отношений: 12:3= 4 и 16:4= 4 . Читают: двенадцать так относится к трем , как шестнадцать относится к четырем . Здесь 12 и 4 -крайние члены пропорции, а 3 и 16 — средние члены пропорции.

Основное свойство пропорции.

Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов.

Для пропорции a : b = c : d или a / b = c / d основное свойство записывается так: a·d = b·c .

Для нашей пропорции 12 : 3 = 16 : 4 основное свойство запишется так: 12·4 = 3·16 . Получается верное равенство: 48=48 .

Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, нужно произведение средних членов пропорции разделить на известный крайний член.

Примеры. Найти неизвестный крайний член пропорции.

1) х : 20 = 2 : 5. У нас х и 5 — крайние члены пропорции, а 20 и 2 — средние.

Решение.

х = (20·2):5 — нужно перемножить средние члены (20 и 2) и результат разделить на известный крайний член (число 5);

х = 40 : 5 — произведение средних членов (40) разделим на известный крайний член (5);

х = 8. Получили искомый крайний член пропорции.

Удобнее записывать нахождение неизвестного члена пропорции с помощью обыкновенной дроби. Вот как тогда запишется рассмотренный нами пример:

Искомый крайний член пропорции (х) будет равен произведению средних членов (20 и 2), деленному на известный крайний член (5).

Сокращаем дробь на 5 (делим на 5 и числитель и знаменатель дроби). Находим значение х.

Если забыли, как сокращать обыкновенные дроби, то повторите тему: «5.4.2. Примеры сокращения обыкновенных дробей»

Еще такие примеры на нахождение неизвестного крайнего члена пропорции.

Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, нужно произведение крайних членов пропорции разделить на известный средний член.

Примеры. Найти неизвестный средний член пропорции.

5) 9 : х = 3 : 14. Число 3 — известный средний член данной пропорции, числа 9 и 14 — крайние члены пропорции.

Решение.

х = (9·14):3 — перемножим крайние члены пропорции и результат разделим на известный средний член пропорции;

х= 136:3;

х=42.

Решение этого примера можно записать иначе:

Искомый средний член пропорции (х) будет равен произведению крайних членов (9 и 14), деленному на известный средний член (3).

Сокращаем дробь на 3 (делим на 3 и числитель и знаменатель дроби). Находим значение х.

Если забыли, как сокращать обыкновенные дроби, то повторите тему: «5.4.2. Примеры сокращения обыкновенных дробей»

Еще такие примеры на нахождение неизвестного среднего члена пропорции.

Что такое пропорция

Здесь мы рассмотрим, что такое пропорция, как называются члены пропорции и основное свойство пропорции.

Пропорция — это равенство двух отношений .

С помощью букв пропорцию записывают так:

Смотрите так же:

  • Приказом 306 от 31052012 Записи с метками правила пожарной безопасности Оповещение о пожаре по радиоканалу в пожарную охрану Здравствуйте, подскажите пожалуйста. Нарушение по предписанию - "На объекте отсутствует система АПС по передаче […]
  • Калькулятор пенсии военнослужащего в 2014 году Калькулятор военной пенсии за выслугу лет на 2017 г. с учетом увеличения с 01.02.2017 г. Калькулятор расчета военной пенсии с 1 января 2018 г. смотреть здесь Посчитать "смешанную военную пенсию" с учетом гражданского […]
  • Штрафы за ндфл 2014 Штраф за неуплату НДФЛ Актуально на: 1 декабря 2015 г. Обязанность по уплате НДФЛ может лежать на самом налогоплательщике – физическом лице, в том числе ИП (п. 1 ст. 227, п. 2 ст. 214, п. 1 ст. 228 НК РФ), либо на […]
  • Фскн приказ 9 Приказ Федеральной службы РФ по контролю за оборотом наркотиков от 9 января 2008 г. N 1 "Об утверждении Инструкции о порядке проведения военно-врачебной экспертизы в органах по контролю за оборотом наркотических […]
  • Нотариус заволжского района ульяновск Нотариус в Ульяновске Нотариус в Ульяновске Заволжский район Адрес: 432072, г. Ульяновск, просп. Лен. Комсомола, д. 38 Телефон: (8422) 21-11-82 e-mail: karpova_tm @ mail.ru ПР-Т ЛЕН. КОМСОМОЛА 18, 24, 26, 30, 32, 42, […]
  • Как можно обналичить материнский капитал на покупку автомобиля Материнский капитал на покупку автомобиля На сегодняшний день для многих семей с детьми до сих пор актуальным остается вопрос о распоряжении денежными средствами по государственному сертификату на материнский капитал, […]

Читают: «a относится к b как c относится к d» или «отношение a к b равно отношению c к d».

Числа a и d называют крайними членами пропорции, числа b и c — средними членами пропорции:

Здесь 4,8 и 1,2 — крайние члены пропорции, 1,6 и 3,6 — средние члены пропорции.

Здесь 2,1 и 6 — крайние члены пропорция, 8,4 и 1,5 — средние члены пропорции.

Основное свойство пропорции:

Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов.

Отсюда следует, что

Таким образом, если в пропорции поменять местами крайние члены или средние члены, то получим новые верные пропорции.

Пропорция- это равенство. Если это равенство содержит переменную, значение которой надо найти, то оно является уравнением. Как решать пропорции, мы рассмотрим в следующий раз.
Кроме того, пропорции используются для решения некоторых задач. В частности, пропорции существенно облегчают решение задач на проценты. Позже мы рассмотрим также решение задач с помощью пропорций.

Если у двух отношений одинаковое частное, то их можно соединить знаком равенства, тогда это равенство будет уже пропорцией.

Определение, Равенство двух отношений называется пропорцией .

Пропорции можно записывать в виде частного двух натуральных чисел, обыкновенными дробями, численно и буквенно. Например:
2 : 3 = 8 : 12;

Буквенная запись пропорции a : b = c : d — это общий
вид пропорции, где:

a и d — это крайние члены пропорции;

b и c — это средние члены пропорции.

Основное свойство пропорции: a * d = b * c

Правило . Произведение средних членов истинной пропорции равно произведению ее крайних членов.

Правило. Средние и крайние члены пропорции можно менять местами, от этого пропорция не изменится.

Например, для истинной пропорции a : b = c : d верно: a * d = b * c

Истинными будут и пропорции a : b = b : d, d : b = c : a, d : c = b : a.

В пропорции один из ее членов можно заменить буквой (обозначить буквой неизвестный член пропорции).

Например: 2 : 3 = x : 12 или x : 3 = 8 : 12.

В первом примере неизвестен средний член пропорции, а во втором — ее крайний член.

Пропорция с одним неизвестным часто встречается в решении задач (значение неизвестного — это ответ на вопрос задачи). Вычислить любой член пропорции можно по следующем правилу.

Правило . Неизвестный крайний член пропорции равен частному произведения средних членов пропорции и известного крайнего члена.

Неизвестный средний член пропорции равен частному произведения крайних членов пропорции и известного среднего члена.

Определение неизвестного члена пропорции :

x : b = c : d, x = (b * c) : d
a : b = c : x, x = (b * c) : a
a : x = c : d, x = (a * d) : c
a : b = x : d, x = (a * d) : b

Составить пропорцию

Составить пропорцию. В этой статье хочу поговорить с вами о пропорции. Понимать, что такое пропорция, уметь составлять её – это очень важно, она действительно спасает. Это вроде бы маленькая и незначительная «буковка» в большом алфавите математики, но без неё математика обречена быть хромой и неполноценной. Для начала напомню, что такое пропорция. Это равенство вида:

что тоже самое (это разная форма записи).

Говорят – один относится к двум также, как четыре относится к восьми. То есть это равенство двух отношений (в данном примере отношения числовые).

Основное правило пропорции:

произведение крайних членов равно произведению средних

*Если какая-либо величина в пропорции неизвестна, ее всегда можно найти.

Если рассматривать форму записи вида:

то можно использовать следующее правило, его называют «правило креста»: записывается равенство произведений элементов (чисел или выражений) стоящих по диагонали

Как видите результат тот же.

Если три элемента пропорции известны, то мы всегда можем найти четвёртый.

Именно в этом суть пользы и необходимость пропорции при решении задач.

Давайте рассмотрим все варианты, где неизвестная величина х находится в «любом месте» пропорции, где a, b, c – числа:

Величина стоящая по диагонали от х записывается в знаменатель дроби, а известные величины стоящие по диагонали записываются в числитель, как произведение. Его запоминать не обязательно, вы и так всё верно вычислите, если усвоили основное правило пропорции.

Теперь главный вопрос, связанный с названием статьи. Когда пропорция спасает и где используется? Например:

1. Прежде всего это задачи на проценты. Мы рассматривали их в статьях » Задачи на проценты. Часть 1! » и » Задачи на проценты. Часть 2! «.

2. Многие формулы заданы в виде пропорций:

> отношение элементов в треугольнике

> теорема Фалеса и другие.

3. В задачах по геометрии в условии часто задаётся отношение сторон (других элементов) или площадей, например 1:2, 2:3 и прочие.

4. Перевод единиц измерения, причём пропорция используется для перевода единиц как в одной мере, так и для перевода из одной меры в другую:

— часы в минуты (и наоборот).

— единицы объёма, площади.

— длины, например мили в километры (и наоборот).

— градусы в радианы (и наоборот).

здесь без составления пропорции не обойтись.

Ключевой момент в том, что нужно правильно установить соответствие, рассмотрим простые примеры:

Необходимо определить число, которое составляет 35% от 700.

В задачах на проценты за 100% принимается та величина, с которой сравниваем. Неизвестное число обозначим как х. Установим соответствие:

Можно сказать, что семисот тридцати пяти соответствует 100 процентов.

Иксу соответствует 35 процентов. Значит,

Переведём 50 минут в часы.

Мы знаем, что одному часу соответствует 60 минут. Обозначим соответсвие — x часов это 50 минут. Значит

То есть 50 минут это пять шестых часа.

Николай Петрович проехал 3 километра. Сколько это будет в милях (учесть, что 1 миля это 1,6 км)?

Известно, что 1 миля это 1,6 километра. Число миль, которые проехал Николай Петрович примем за х. Можем установить соответствие:

Одной миле соответствует 1,6 километра.

Икс миль это три километра.

Ответ: 1,875 миль

Вы знаете, что для перевода градусов в радианы (и обратно) существуют формулы. Я их не записываю, так как запоминать их считаю излишним, и так вам в памяти приходится держать много информации. Вы всегда сможете перевести градусы в радианы (и обратно), если воспользуетесь пропорцией.

Переведём 65 градусов в радианную меру.

Главное это запомнить, что 180 градусов это Пи радиан.

Обозначим искомую величину как х. Устанавливаем соответствие.

Ста восьмидесяти градусам соответствует Пи радиан.

Шестидесяти пяти градусам соответствует х радиан.

Если записать отношение в общем виде, то получится

То есть, если необходимо перевести градусы в радианы, то подставляете в эту пропорцию градусы и вычисляете радианы; если необходимо перевести радианы в градусы, то подставляете радианы и вычисляете градусы.

Можете изучить статью по этой теме на блоге. Материал в ней изложен несколько по иному, но принцип тот же. На этом закончу. Обязательно будет ещё что-нибудь интересненькое, не пропустите!

Если вспомнить само определение математики, то в нём есть такие слова: математика изучает количественные ОТНОШЕНИЯ (ОТНОШЕНИЯ — здесь ключевое слово). Как видите в самом определении математики заложена пропорция. Вообщем, математика без пропорции это не математика.

Продолжаем изучать соотношения. В данном уроке мы познакомимся с пропорцией.

Что такое пропорция?

Пропорцией называют равенство двух отношений. Например, отношение равно отношению

Данная пропорция читается следующим образом:

Десять так относится к пяти, как два относится к одному

Предположим, что в классе 10 девочек и 5 мальчиков

Запишем отношение десяти девочек к пяти мальчикам:

Преобразуем данное отношение в дробь

Выполнив деление в этой дроби, мы получим 2. То есть, десять девочек так будут относится к пяти мальчикам, что на одного мальчика будет приходиться две девочки

Теперь рассмотрим другой класс в котором две девочки и один мальчик

Запишем отношение двух девочек к одному мальчику:

Преобразуем данное отношение в дробь:

Выполнив деление в этой дроби, мы снова получим 2. То есть, две девочки так будут относится к одному мальчику, что на этого одного мальчика будут приходиться две девочки.

Можно сделать вывод, что отношение пропорционально отношению . Поэтому оно и читалось как «десять так относится к пяти, как два относится к одному».

В нашем примере десять девочек так относятся к пяти мальчикам, как и две девочки относятся к одному мальчику.

Пример 2. Рассмотрим отношение 12 девочек к 3 мальчикам

а также отношение 12 девочек к 2 мальчикам

Данные отношения не являются пропорциональными. Другими словами, мы не можем записать, что , поскольку первое отношение, как видно на рисунке показывает, что на одного мальчика приходятся четыре девочки, а второе отношение показывает, что на одного мальчика приходятся шесть девочек.

Поэтому отношение не пропорционально отношению .

Из рассмотренных примеров видно, что пропорция составляется из дробей. Первая рассмотренная нами пропорция состоит из двух дробей. Если выполнить деление в этих дробях, то получим, что 2=2 . Понятно, что 2 равно 2.

Вторая рассмотренная нами пропорция была . Мы пришли к выводу, что она составлена неправильно, поэтому поставили между дробями и знак не равно (≠). Если выполнить деление в этих дробях, получим числа 4 и 6. Понятно, что 4 не равно 6.

Рассмотрим пропорцию . Данная пропорция составлена правильно, поскольку отношения и равны между собой:

Можно проверить это, выполнив деление в этих дробях, то есть разделить 4 на 2, а 8 на 4. В результате с двух сторон получатся двойки. А 2 равно 2

Все числа, находящиеся в пропорции (числители и знаменатели обеих дробей) называются членами пропорции. Эти члены подразделяются на два вида: крайние члены и средние члены.

В нашей пропорции крайние члены это 4 и 4, а средние члены это 2 и 8

Почему крайние члены называют крайними, а средние средними? Если записать пропорцию не в дробном, а в обычном виде, то сразу станет всё понятно:

Числа 4 и 4 располагаются с краю, поэтому их назвали крайними, а числа 2 и 8 располагаются посередине, поэтому их назвали средними:

С помощью переменных пропорцию можно записать так:

Данное выражение можно прочесть следующим образом:

a так относится к b, как c относится к d

Смысл данного предложения уже понятен. Речь идет о членах, участвующих в соотношении. a и d — это крайние члены пропорции, b и c — средние члены пропорции.

Основное свойство пропорции

Основное свойство пропорции выглядит следующим образом:

Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.

Мы знаем, что произведение это ни что иное, как обычное умножение. Чтобы проверить правильно ли составлена пропорция, нужно перемножить её крайние и средние члены. Если произведение крайних членов будет равно произведению средних членов, то такая пропорция составлена правильно.

Например, проверим правильно ли составлена пропорция . Для этого перемножим её крайние и средние члены. Легко заметить, что крайние и средние члены пропорции располагаются «крест-накрест», поэтому в умножении нет ничего сложного. Перемножаем члены пропорции «крест-накрест»:

4 × 4 = 16 — произведение крайних членов пропорции равно 16.

2 × 8 = 16 — произведение средних членов пропорции так же равно 16.

4 × 4 = 2 × 8

4 × 4 = 2 × 8 — произведение крайних членов равно произведению средних членов. Значит пропорция составлена правильно.

Пример 2. Проверить правильно ли составлена пропорция

Проверим равно ли произведение крайних членов пропорции произведению её средних членов. Перемножим члены пропорции крест-накрест:

2 × 6 = 12 — произведение крайних членов пропорции равно 12

3 × 1 = 3 — произведение средних членов пропорции равно 3

2 × 6 ≠ 3 × 1 — произведение крайних членов пропорции НЕ равно произведению её средних членов. Значит пропорция составлена неправильно.

Поэтому в пропорции разумнее заменить знак равенства (=) на знак не равно (≠)

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Опубликовано / Июль 28, 2018
Рубрики:
Блог