Правила прогрессии

Содержание статьи:

Арифметическая прогрессия

Прогрессия — последовательность чисел, получаемых по некоторому правилу.

Под арифметической или геометрической прогрессией понимается бесконечная последовательность числен. Но часто арифметической или геометрической прогрессией называют конечную часть прогрессии, не упоминая при этом слова «конечная».

Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, задаваемая двумя параметрами , и законом , ,

— разность данной арифметической прогрессии;

  • Если %200″ class=»img_formula» /> — арифметическую прогрессию называют возрастающей;
  • Если — арифметическую прогрессию называют убывающей;
  • В случае, если — все члены прогрессии равны числу , а ариф.прогрессию называют стационарной.

Любой член арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

Формула разности арифметической прогрессии

Формула суммы n-первых членов арифметической прогрессии

Задана арифметическая прогрессия, где пятый и десятый члены равны соответственно 38 и 23. Найти пятнадцатый член прогрессии и сумму ее десяти первых членов.

Найти число членой арифметической прогресии 5,14,23. , если ее -ый член равен 239.

Найти число членов арифметической прогресии 9,12,15. , если ее сумма равна 306.

Формулы прогрессий (арифметическая и геометрическая)

Прогрессия — последовательность чисел, получаемых по некоторому правилу. Числа составляющие последовательность, называются ее членами.

Прогрессии:

  • арифметическая прогрессия;
  • геометрическая прогрессия.

Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый член получается из предыдущего путем прибавления к нему одного и того же числа d, называемого разностью этой арифметической прогрессии.

Формула n-го члена:

Формулы суммы n первых членов:

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, каждое из которых равно предыдущему, умноженному на некоторое постоянное для данной прогрессии число q, называемое знаменателем этой геометрической прогрессии.

Формула n-го члена:

Формулы суммы n первых членов:

Сумма бесконечной прогрессии:

Если после изучения данного теоретического материала (Формулы прогрессий (арифметическая и геометрическая)) у Вас возникли проблемы при решении задач на данную тему или появились вопросы образовательного характера, то Вы всегда можете задать их на нашем форуме.

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Числовая последовательность. Арифметическая прогрессия.

Разность прогрессии. Геометрическая прогрессия. Знаменатель

прогрессии. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Обращение периодической десятичной дроби в обыкновенную.

Последовательности. Рассмотрим ряд натуральных чисел:

Если заменить каждое число n в этом ряду некоторым числом un , следуя некоторому закону, мы получим новый ряд чисел:

называемый числовой последовательностью. Число u n называется общим членом числовой последовательности.

П р и м е р ы числовых последовательностей:

Арифметическая прогрессия. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным для этой последовательности числом d , называется арифметической прогрессией . Число d называется разностью прогрессии. Любой член ариф метической прогрессии вычисляется по формуле:

Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется как:

Смотрите так же:

  • Приказ на контрактного управляющего доу Приказ на контрактного управляющего доу муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Павловская средняя общеобразовательная школа» ПРИКАЗ от 29 марта 2014 года № 35 О назначении ответственного за […]
  • Сколько налог на машину в москве Транспортный налог в Москве: до 150 рублей за лошадиную силу Власти Москвы планируют увеличить ставки транспортного налога в отношении большинства категорий легковых автомобилей и отменить некоторые ранее установленные […]
  • Куда подавать иск на раздел имущества В какие сроки после развода можно подавать иск на раздел имущества? в какие сроки после развода можно подавать иск на раздел имущества, чтобы не было поздно. В частности после закрытия кредита. Ответы юристов […]
  • Госпошлина росреестра москвы Госпошлина в Росреестр: реквизиты, квитанция, возврат Актуально на: 19 июня 2017 г. Образец платежного поручения для уплаты пошлины при подаче заявления непосредственно в Росреестр Государственную регистрацию прав на […]
  • Закон о власти 1917 Первые декреты Советской власти Первая российская революция 1905-1907 Аграрная реформа П.А. Столыпина Первая Мировая война 1914–1918 Первые декреты Советской власти Утром 25 октября 1917 г. […]
  • Сумма налога на ип в год Сколько может стоить ИП в год? К нам часто приходят клиенты с запросом: сколько может стоить содержание ИП без сотрудников в год? Давайте поймем, какие здесь могут быть затраты, на что вам нужно обратить внимание. […]

П р и м е р . Найти сумму первых ста нечётных чисел.

Р е ш е н и е . Применим последнюю формулу. Здесь a 1 = 1, d = 2 . Тогда

Геометрическая прогрессия. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное для этой последовательности число q , называется геометрической

прогрессией . Число q называется знаменателем прогрессии. Любой член геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

Сумма n первых членов геометрической прогрессии вычисляется как:

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Это геометрическая прогрессия, у которой | q |

П р и м е р . Найти сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Р е ш е н и е . Применим последнюю формулу. Здесь b 1 = 1, q = 1/2. Тогда:

Обращение периодической десятичной дроби в обыкновенную. Предположим, мы хотим обратить периодическую десятичную дробь 0.(3) в обыкновенную. Рассмотрим эту десятичную дробь в следующем виде:

Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, первый член которой равен 3/10, а разность q = 1/10. В соответствии с выше приведенной формулой эта сумма равна:

Арифметическая прогрессия.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень. »
И для тех, кто «очень даже. » )

Арифметическая прогрессия — это ряд чисел, в котором каждое число больше (или меньше) предыдущего на одну и ту же величину.

Эта тема частенько представляется сложной и непонятной. Индексы у буковок, n-й член прогрессии, разность прогрессии — всё это как-то смущает, да. Разберёмся со смыслом арифметической прогрессии и всё сразу наладится.)

Понятие арифметической прогрессии.

Арифметическая прогрессия — понятие очень простое и чёткое. Сомневаетесь? Зря.) Смотрите сами.

Я напишу незаконченный ряд чисел:

Сможете продлить этот ряд? Какие числа пойдут дальше, за пятёркой? Каждый. э-э-э. короче, каждый сообразит, что дальше пойдут числа 6, 7, 8, 9 и т.д.

Усложним задачу. Даю незаконченный ряд чисел:

Сможете уловить закономерность, продлить ряд, и назвать седьмое число ряда?

Если сообразили, что это число 20 — я вас поздравляю! Вы не только почувствовали ключевые моменты арифметической прогрессии, но и успешно употребили их в дело! Если не сообразили — читаем дальше.

А теперь переведём ключевые моменты из ощущений в математику.)

Первый ключевой момент.

Арифметическая прогрессия имеет дело с рядами чисел. Это и смущает поначалу. Мы привыкли уравнения решать, графики строить и всё такое. А тут продлить ряд, найти число ряда.

Ничего страшного. Просто прогрессии — это первое знакомство с новым разделом математики. Раздел называется «Ряды» и работает именно с рядами чисел и выражений. Привыкайте.)

Второй ключевой момент.

В арифметической прогрессии любое число отличается от предыдущего на одну и ту же величину.

В первом примере эта разница — единичка. Какое число ни возьми, оно больше предыдущего на единичку. Во втором — тройка. Любое число больше предыдущего на тройку. Собственно, именно этот момент и даёт нам возможность уловить закономерность и рассчитать последующие числа.

Третий ключевой момент.

Этот момент не бросается в глаза, да. Но очень, очень важен. Вот он: каждое число прогрессии стоит на своём месте. Есть первое число, есть седьмое, есть сорок пятое, и т.д. Если их перепутать как попало, закономерность исчезнет. Исчезнет и арифметическая прогрессия. Останется просто ряд чисел.

Разумеется, в новой теме появляются новые термины и обозначения. Их надо знать. Иначе и задание-то не поймёшь. Например, придётся решать, что-нибудь, типа:

Выпишите первые шесть членов арифметической прогрессии (an), если a2 = 5, d = -2,5.

Внушает?) Буковки, индексы какие-то. А задание, между прочим — проще некуда. Просто нужно понять смысл терминов и обозначений. Сейчас мы это дело освоим и вернёмся к заданию.

Термины и обозначения.

Арифметическая прогрессия — это ряд чисел, в котором каждое число отличается от предыдущего на одну и ту же величину.

Эта величина называется разность арифметической прогрессии. Разберёмся с этим понятием поподробнее.

Разность арифметической прогрессии.

Разность арифметической прогрессии — это величина, на которую любое число прогрессии больше предыдущего.

Один важный момент. Прошу обратить внимание на слово «больше». Математически это означает, что каждое число прогрессии получается прибавлением разности арифметической прогрессии к предыдущему числу.

Для расчёта, скажем, второго числа ряда, надо к первому числу прибавить эту самую разность арифметической прогрессии. Для расчёта пятого — разность надо прибавить к четвёртому, ну и т.п.

Разность арифметической прогрессии может быть положительной, тогда каждое число ряда получится реально больше предыдущего. Такая прогрессия называется возрастающей. Например:

Здесь каждое число получается прибавлением положительного числа, +5 к предыдущему.

Разность может быть и отрицательной, тогда каждое число ряда получится меньше предыдущего. Такая прогрессия называется (вы не поверите!) убывающей.

Здесь каждое число получается тоже прибавлением к предыдущему, но уже отрицательного числа, -5.

Кстати, при работе с прогрессией очень полезно бывает сразу определить её характер — возрастающая она, или убывающая. Это здорово помогает сориентироваться в решении, засечь свои ошибки и исправить их, пока не поздно.

Разность арифметической прогрессии обозначается, как правило, буквой d.

Как найти d ? Очень просто. Надо от любого числа ряда отнять предыдущее число. Вычесть. Кстати, результат вычитания называется «разность».)

Определим, например, d для возрастающей арифметической прогрессии:

Берём любое число ряда, какое хотим, например, 11. Отнимаем от него предыдущее число, т.е. 8:

Это правильный ответ. Для этой арифметической прогрессии разность равна трём.

Брать можно именно любое число прогрессии, т.к. для конкретной прогрессии d — всегда одно и то же. Хоть где-нибудь в начале ряда, хоть в середине, хоть где угодно. Брать нельзя только самое первое число. Просто потому, что у самого первого числа нет предыдущего.)

Кстати, зная, что d = 3, найти седьмое число этой прогрессии очень просто. Прибавим 3 к пятому числу — получим шестое, это будет 17. Прибавим к шестому числу тройку, получим седьмое число — двадцать.

Определим d для убывающей арифметической прогрессии:

Напоминаю, что, независимо от знаков, для определения d надо от любого числа отнять предыдущее. Выбираем любое число прогрессии, например -7. Предыдущее у него — число -2. Тогда:

Разность арифметической прогрессии может быть любым числом: целым, дробным, иррациональным, всяким.

Другие термины и обозначения.

Каждое число ряда называется членом арифметической прогрессии.

Каждый член прогрессии имет свой номер. Номера идут строго по порядочку, безо всяких фокусов. Первый, второй, третий, четвёртый и т.д. Например, в прогрессии 2, 5, 8, 11, 14, . двойка — это первый член, пятёрка — второй, одиннадцать — четвёртый, ну, вы поняли. ) Прошу чётко осознать — сами числа могут быть совершенно любые, целые, дробные, отрицательные, какие попало, но нумерация чисел — строго по порядку!

Как записать прогрессию в общем виде? Не вопрос! Каждое число ряда записывается в виде буквы. Для обозначения арифметической прогрессии используется, как правило, буква a. Номер члена указывается индексом внизу справа. Члены пишем через запятую (или точку с запятой), вот так:

a1 — это первое число, a3 — третье, и т.п. Ничего хитрого. Записать этот ряд кратко можно вот так: (an).

Прогрессии бывают конечные и бесконечные.

Конечная прогрессия имеет ограниченное количество членов. Пять, тридцать восемь, сколько угодно. Но — конечное число.

Бесконечная прогрессия — имеет бесконечное количество членов, как можно догадаться.)

Записать конечную прогрессию через ряд можно вот так, все члены и точка в конце:

Или так, если членов много:

В краткой записи придётся дополнительно указывать количество членов. Например (для двадцати членов), вот так:

Бесконечную прогрессию можно узнать по многоточию в конце ряда, как в примерах этого урока.

Теперь уже можно порешать задания. Задания несложные, чисто для понимания смысла арифметической прогрессии.

Примеры заданий по арифметической прогрессии.

Разберём подробненько задание, что приведено выше:

1. Выпишите первые шесть членов арифметической прогрессии (an), если a2 = 5, d = -2,5.

Переводим задание на понятный язык. Дана бесконечная арифметическая прогрессия. Известен второе число этой прогрессии: a2 = 5. Известна разность прогрессии: d = -2,5. Нужно найти первый, третий, четвёртый, пятый и шестой члены этой прогрессии.

Для наглядности запишу ряд по условию задачки. Первые шесть членов, где второй член — пятёрка:

Легко можно посчитать, например, a3. Мы знаем (по смыслу арифметической прогрессии), что a3 больше a2 на величину d. Стало быть:

Подставляем в выражение a2 = 5 и d = -2,5. Не забываем про минус!

Третий член получился меньше второго. Всё логично. Если число больше предыдущего на отрицательную величину, значит само число получится меньше предыдущего. Прогрессия — убывающая. Ладно, учтём.) Считаем четвёртый член нашего ряда:

Ну и дальше, по накатанной колее:

Так, члены с третьего по шестой вычислили. Получился такой ряд:

Остаётся найти первый член a1 по известному второму. Это шаг в другую сторону, влево.) Значит, разность арифметической прогрессии d надо не прибавить к a2, а отнять:

Вот и все дела. Ответ задания:

Попутно замечу, что это задание мы решали рекуррентным способом. Это страшное слово означает, всего лишь, поиск члена прогрессии по предыдущему (соседнему) числу. Другие способы работы с прогрессией мы рассмотрим далее.

Из этого несложного задания можно сделать один важный вывод.

Если нам известен хотя бы один член и разность арифметической прогрессии, мы можем найти любой член этой прогрессии.

Запомнили? Этот несложный вывод позволяет решать большинство задач школьного курса по этой теме. Все задачи крутятся вокруг трёх главных параметров: член арифметической прогрессии, разность прогрессии, номер члена прогрессии. Всё.

Разумеется, вся предыдущая алгебра не отменяется.) К прогрессии прицепляются и неравенства, и уравнения, и прочие вещи. Но по самой прогрессии — всё крутится вокруг трёх параметров.

Для примера рассмотрим некоторые популярные задания по этой теме.

2. Запишите конечную арифметическую прогрессию в виде ряда, если n=5, d = 0,4, и a1 = 3,6.

Здесь всё просто. Всё уже дано. Нужно вспомнить, как считаются члены арифметической прогрессии, посчитать, да и записать. Желательно не пропустить слова в условии задания: «конечную» и «n=5«. Чтобы не считать до полного посинения.) В этой прогрессии всего 5 (пять) членов:

Остаётся записать ответ:

3. Определите, будет ли число 7 членом арифметической прогрессии (an), если a1 = 4,1; d = 1,2.

Хм. Кто ж его знает? Как определить-то?

Как-как. Да записать прогрессию в виде ряда и посмотреть, будет там семёрка, или нет! Считаем:

Так, стоит считать дальше, или нет, как думаете?) Разумеется, нет! Запишем в виде ряда:

Сейчас чётко видно, что семёрку мы просто проскочили между 6,5 и 7,7! Не попала семёрка в наш ряд чисел, и, значит, семёрка не будет членом заданной прогрессии.

А вот задачка на основе реального варианта ГИА:

4. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии:

Найдите член прогрессии, обозначенный буквой х.

Здесь записан ряд без конца и начала. Нет ни номеров членов, ни разности d. Ничего страшного. Для решения задания достаточно понимать смысл арифметической прогрессии. Смотрим и соображаем, что можно узнать из этого ряда? Какие параметры из трёх главных?

Номера членов? Нет тут ни единого номера.

Зато есть три числа и — внимание! — слово «последовательных» в условии. Это значит, что числа идут строго по порядку, без пропусков. А есть ли в этом ряду два соседних известных числа? Да, есть! Это 9 и 6. Стало быть, мы можем вычислить разность арифметической прогрессии! От шестёрки отнимаем предыдущее число, т.е. девятку:

Остались сущие пустяки. Какое число будет предыдущим для икса? Пятнадцать. Значит, икс можно легко найти простым сложением. К 15 прибавить разность арифметической прогрессии:

Вот и всё. Ответ: х=12

Следующие задачки решаем самостоятельно. Замечание: эти задачки — не на формулы. Чисто на понимание смысла арифметической прогрессии.) Просто записываем ряд с числами-буквами, смотрим и соображаем.

5. Найдите первый положительный член арифметической прогрессии, если a5 = -3; d = 1,1.

6. Известно, что число 5,5 является членом арифметической прогрессии (an), где a1 = 1,6; d = 1,3. Определите номер n этого члена.

7. Известно, что в арифметической прогрессии a2 = 4; a5 = 15,1. Найдите a3.

8. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии:

Найдите член прогрессии, обозначенный буквой х.

9. Поезд начал движение от станции, равномерно увеличивая скорость на 30 метров в минуту. Какова будет скорость поезда через пять минут? Ответ дайте в км/час.

10. Известно, что в арифметической прогрессии a2 = 5; a6 = -5. Найдите a1.

Ответы (в беспорядке): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.

Всё получилось? Замечательно! Можно осваивать арифметическую прогрессию на более высоком уровне, в следующих уроках.

Не всё получилось? Не беда. В Особом разделе 555 все эти задачки разобраны по косточкам.) И, конечно, описан простой практический приём, который сразу высвечивает решение подобных заданий чётко, ясно, как на ладони!

Кстати, в задачке про поезд есть две проблемки, на которых часто спотыкается народ. Одна — чисто по прогрессии, а вторая — общая для любых задач по математике, да и физике тоже. Это перевод размерностей из одной в другую. В 555 показано, как надо эти проблемы решать.

В этом уроке мы рассмотрели элементарный смысл арифметической прогрессии и её основные параметры. Этого достаточно для решения практически всех задач на эту тему. Прибавляй d к числам, пиши ряд, всё и решится.

Решение «на пальцах» хорошо подходит для очень коротких кусочков ряда, как в примерах этого урока. Если ряд подлиннее, вычисления усложняются. Например, если в задачке 9 в вопросе заменить «пять минут» на «тридцать пять минут», задачка станет существенно злее.)

А ещё бывают задания простые по сути, но несусветные по вычислениям, например:

Дана арифметическая прогрессия (an). Найти a121, если a1=3, а d=1/6.

И что, будем много-много раз прибавлять по 1/6?! Это же убиться можно!?

Можно.) Если не знать простую формулу, по которой решать подобные задания можно за минуту. Эта формула будет в следующем уроке. И задачка эта там решена. За минуту.)

Если Вам нравится этот сайт.

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.

Арифметическая прогрессия

Что нужно знать

  • Простейшие алгебраические уравнения

Что вы узнаете

  • Что такое арифметическая прогрессия и для чего она нужна
  • Как найти любой член арифметической прогрессии
  • Как найти разность арифметической прогрессии
  • Чему равна сумма первых n n n членов арифметической прогрессии

В жизни мы часто сталкиваемся с числовыми последовательностями. Например, средняя температура воздуха для каждого дня в сентябре или расходы на транспорт в каждом месяце года.

Последовательности, о которых пойдет речь в данной главе, обладают интересными свойствами: очередной член последовательности можно вычислить, зная предыдущий член, по определенной формуле. Если использовать свойства этих последовательностей, то многие задачи математики, физики и экономики значительно упрощаются.

Начнем с арифметической прогрессии.

Что такое арифметическая прогрессия?

Конечный отрезок такой последовательности называется конечной арифметической прогрессией , или просто арифметической прогрессией .

Является ли следующая последовательность арифметической прогрессией: 1 1 1 , − 1 -1 − 1 , 2 2 2 , − 2 -2 − 2 , 3 3 3 , − 3 -3 − 3 ?

Как найти произвольный член прогрессии?

Если нам известна разность и первый член арифметической прогрессии, то мы легко можем найти любой другой член этой прогрессии. В самом деле, a 2 = a 1 + d a_2=a_1+d a 2 ​ = a 1 ​ + d , a 3 = a 2 + d = a 1 + 2 d a_3=a_2+d=a_1+2d a 3 ​ = a 2 ​ + d = a 1 ​ + 2 d , a 4 = a 3 + d = a 1 + 3 d a_4=a_3+d=a_1+3d a 4 ​ = a 3 ​ + d = a 1 ​ + 3 d и т.д. k k k -й член мы можем найти по формуле:

Следующая формула связывает два произвольных члена прогрессии:

Как найти разность арифметической прогрессии?

Используя последнюю формулу, мы легко можем найти разность прогрессии, зная любые два ее члена. В самом деле, из формулы a n = a k + ( n − k ) d a_n=a_k+(n-k)d a n ​ = a k ​ + ( n − k ) d следует такая формула:

А теперь решите простую задачу на прогрессии (для этого сначала запишите условие задачи в виде формулы арифметической прогрессии):

Гермиона в первый день учебы в Хогвартсе выучила одно заклинание и каждый день выучивает на некоторое число заклинаний больше, чем в предыдущий день. На 8 8 8 -й день она выучила 1 5 15 1 5 заклинаний. На сколько заклинаний больше она выучивает каждый день?

Запомните следующее простое правило:
Если в задаче происходит увеличение определенной величины на одно и то же число, то речь идет об арифметической прогрессии.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Несложно проверить, что выполняется следующее утверждение:

Сумма первых n n n членов арифметической прогрессии

Еще одна формула, которая часто бывает полезна:

Если вы разберетесь, как выводится эта формула, то запомнить ее будет гораздо легче.

Таким образом, зная только первый и последний члены прогрессии, мы можем найти ее сумму по формуле:

Важным частным случаем формулы суммы арифметической прогрессии является формула суммы первых n n n натуральных чисел: 1 + 2 + . . . + n = n ( n + 1 ) 2 1+2+. +n=\frac <2>1 + 2 + . . . + n = 2 n ( n + 1 ) ​ .

Карл Фридрих Гаусс, ставший впоследствии великим математиком, самостоятельно вывел эту формулу на уроке арифметики в школе. Желая занять детей на долгое время, учитель предложил им сосчитать сумму чисел от 1 1 1 до 1 0 0 100 1 0 0 . Юный Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1 + 1 0 0 = 1 0 1 1+100=101 1 + 1 0 0 = 1 0 1 , 2 + 9 9 = 1 0 1 2+99=101 2 + 9 9 = 1 0 1 и т.д., и мгновенно получил результат 5 0 ⋅ 1 0 1 = 5 0 5 0 50\cdot 101=5050 5 0 ⋅ 1 0 1 = 5 0 5 0 .

Заметим, что Гаусс использовал при подсчете тот же самый метод, что мы использовали при доказательстве формулы для суммы арифметической прогрессии.

При решении следующей задачи используйте формулу суммы первых n n n членов арифметической прогрессии:

Определите, сколько задач Петров решил в четвертый день, если вся подготовка заняла 16 дней.

Конечно, способность Петрова концентрироваться в решающий момент поражает! Хорошо еще, что количество задач, которые он решал, росло в арифметической , а не в геометрической прогрессии .

О геометрической прогрессии читайте в следующей статье.

Заключение

Приведем еще раз формулы, которые позволяют решить практически любую задачу на арифметические прогрессии:

Опубликовано / Август 20, 2018
Рубрики:
Блог