Периодические дроби правила

Периодическая дробь

Не все обыкновенные дроби можно представить в виде конечной десятичной дроби.

Например, если делить 2 на 3 , то сначала получим ноль целых, потом шесть десятых, а затем при делении всё время будет повторяться остаток 2 , а в частном — цифра 6 .

Такое деление закончить без остатка невозможно и поэтому дробь

Если в записи десятичной дроби одна цифра или группа цифр начинают повторяться бесконечно много раз, такую дробь называют периодической дробью.

В краткой записи периодической дроби повторяющуюся цифру (или группу цифр) пишут в скобках. Эту цифру (или группу цифр) называют периодом дроби.

Вместо 0,666… пишут 0,(6) и читают «ноль целых и шесть в периоде».

Перевод периодической дроби в обыкновенную

Периодическую бесконечную десятичную дробь можно перевести в обыкновенную дробь.

Рассмотрим периодическую дробь 10,0219(37)

  • Считаем количество цифр в периоде десятичной дроби. Обозначаем количество цифр за букву « k ». У нас « k = 2 ».
  • Считаем количество цифр, стоящих после запятой, но до периода десятичной дроби. Обозначаем количество цифр за букву m . У нас « m = 4 ».
  • Записываем все цифры после запятой (включая цифры из периода) в виде натурального числа.

Если вначале, до первой значащей цифры, идут нули, то отбрасываем их. Обозначаем полученное число буквой « a ».
a = 021937 = 21 937

  • Теперь записываем все цифры, стоящие после запятой, но до периода , в виде натурального числа. Если вначале до первой значащей цифры идут нули, то отбрасываем их. Обозначаем полученное число буквой « b ».
    b = 0219 = 219
  • Подставляем найденные значения в формулу, где « Y » — целая часть бесконечной периодической дроби. У нас « Y = 10 ».
  • Итак, подставляем все найденные значения в формулу выше и получаем обыкновенную дробь. Полученный ответ всегда можно проверить на обычном калькуляторе.

    Периодические десятичные дроби

    Бесконечная десятичная дробь, у которой одна или несколько цифр повторяются в одной и той же последовательности, называется периодической десятичной дробью.

    Например.

    Повторяющиеся цифры — период — для сокращения записи пишут в круглых скобках.

    Например. ;

    Чистой периодической дробью называется периодическая дробь, у которой период начинается сразу после запятой.

    Например.

    Смешанной периодической дробью называется такая десятичная дробь, у которой между запятой и периодом есть не менее одной неповторяющейся бесконечное число раз цифры.

    Например. ;

    Чтобы обратить чистую периодическую дробь в обыкновенную, достаточно записать числителем ее период, а в знаменателе записать столько девяток, сколько цифр в периоде.

    Чтобы записать смешанную периодическую дробь в виде обыкновенной, надо из числа, стоящего до второго периода вычесть число, стоящее до первого периода, результат записать в числителе; в знаменатель записать число, содержащее столько девяток, сколько цифр в периоде, и столько нулей в конце, сколько цифр между запятой и периодом.

    Например. Запишем дробь в виде обыкновенной

    Периодические дроби

    Существуют дроби, у которых в дробной части некоторые цифры бесконечно повторяются. Выглядят эти дроби следующим образом:

    Дроби такого вида называют периодическими. В данном уроке мы попробуем разобраться, что это за дроби, и как с ними работать.

    Получаем периодическую дробь

    Давайте попробуем разделить 1 на 3. Не будем подробно останавливаться на том, как это сделать. Этот момент подробно описан в уроке действия с десятичными дробями, в пункте деление меньшего числа на большее. Продвинутый уровень.

    Итак, делим 1 на 3

    Видно, что мы постоянно получаем остаток 1, далее приписываем к нему 0 и делим 10 на 3. И это повторяется снова и снова. В результате в дробной части каждый раз получается цифра 3. Деление 1 на 3 будет длиться бесконечно, поэтому разумнее будет остановиться на достигнутом.

    Такие дроби называют периодическими, поскольку у них присутствует период цифр, который бесконечно повторяется. Период цифр может состоять из нескольких цифр, а может состоять и из одной, как в нашем примере.

    В примере, который мы рассмотрели выше, период в дроби 0,33333 это цифра 3. Обычно такие дроби записывают сокращённо. Сначала записывают целую часть, затем ставят запятую и в скобках указывают период (цифру, которая повторяется).

    В нашем примере цифра, которая повторяется это цифра 3, она является периодом в дроби 0,33333. Поэтому сокращённая запись будет выглядеть так:

    Читается как «ноль целых и три в периоде»

    Пример 2. Разделить 5 на 11

    Это тоже периодическая дробь. Период данной дроби это цифры 4 и 5, эти цифры повторяются бесконечно. Сокращённая запись будет выглядеть так:

    Читается как «ноль целых и сорок пять в периоде»

    Пример 3. Разделить 15 на 13

    Смотрите так же:

    • Заполнение декларации единого налога 3 группа Декларация предпринимателя-единщика группы 3 по обновленной форме: 5 мая 2017 вступил в силу Приказ Министерства Финансов № 369, который внес изменения в формы деклараций налогоплательщиков, применяющих упрощенную […]
    • Пособие с 7 до 16 Размер и правила оформления детского пособия до 16 и 18 лет На сегодня Правительство РФ всячески пытается наладить демографическую ситуацию в стране, которая за последние несколько лет значительно ухудшилась. Одним из […]
    • Штраф за отсутствие ккм для ип Штрафы за работу без кассового аппарата и другие нарушения, связанные с применением ККМ Статья 14.5. КоАП РФ: основная статья описывающая нарушения и штрафы при применении контрольно-кассовой техники в Российской […]
    • Образец приказа по праздничному дню 4 ноября Приказ о работе в праздничные дни в 2018 году (образец) Статьи по теме Для того чтобы привлечь сотрудников к работе в праздничные дни, необходимо оформить приказ и ознакомить с его содержанием всех тех, кто в нем […]
    • Фсзн пособие по беременности и родам Пособие по беременности и родам Содержание Право на пособие по беременности и родам Получить данное пособие имеют право женщины: [∗] работающие по трудовым договорам; работающие по договорам подряда и другим […]
    • Налог 75Ручита Налоговая инспекция №2, г. Чита Телефоны Приемная 8(3022) 35-60-42 Справочная служба 8(3022) 32-35-93 Call-центр 8(3022) 32-20-12 Телефон доверия 8(3022) 32-58-74 Факс 8(3022) 26-76-22 Начальник Лукьянчиков Александр […]

    Здесь период состоит из нескольких цифр, а именно из цифр 153846. Для наглядности период отделён синей линией. Сокращённая запись для данной периодической дроби будет выглядеть так:

    Читается как: «одна целая сто пятьдесят три тысячи восемьсот сорок шесть в периоде».

    Пример 4. Разделить 471 на 900

    В этом примере период начинается не сразу, а после цифр 5 и 2. Сокращённая запись для данной периодической дроби будет выглядеть так:

    Читается как: «ноль целых пятьдесят две сотых и три в периоде».

    Виды периодических дробей

    Периодические дроби бывают двух видов: чистые и смешанные.

    Если в периодической дроби период начинается сразу же после запятой, то такую периодическую дробь называют чистой. Например, следующие периодические дроби являются чистыми:

    Видно, что в этих дробях период начинается сразу же после запятой.

    Если же в периодической дроби период начинается не сразу, а после некоторого количества не повторяющихся цифр, то такую периодическую дробь называют смешанной. Например, следующие периодические дроби являются смешанными:

    Видно, что в этих дробях период начинается не сразу, а после некоторого количества не повторяющихся цифр.

    Избавляемся от хвоста

    Подобно тому, как ящерица избавляется от хвоста, мы можем избавить периодическую дробь от повторяющегося периода. Для этого достаточно округлить эту периодическую дробь до нужного разряда.

    Например округлим периодическую дробь 0, (3) до разряда сотых. Чтобы увидеть сохраняемую и отбрасываемую цифру, временно запишем дробь 0, (3) не в сокращённом виде, а в полном:

    Вспоминаем правило округления. Если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.

    Значит периодическая дробь 0, (3) при округлении до сотых обращается в дробь 0,33

    Округлим периодическую дробь 6,31 (6) до разряда тысячных.

    Запишем эту дробь в полном виде, чтобы увидеть сохраняемую и отбрасываемую цифру:

    Вспоминаем правило округления. Если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

    Значит периодическая дробь 6,31 (6) при округлении до тысячных обращается в дробь 6,317

    Перевод чистой периодической дроби в обыкновенную дробь

    Перевод периодической дроби в обыкновенную это операция, которую мы будем применять довольно редко. Тем не менее, для нашего же развития желательно изучить и этот момент. А начнём мы с перевода чистой периодической дроби в обыкновенную дробь.

    Мы уже говорили, что если период в периодической дроби начинается сразу после запятой, такую дробь называют чистой.

    Чтобы перевести чистую периодическую дробь в обыкновенную дробь, нужно в числитель обыкновенной дроби записать период периодической дроби, а в знаменатель обыкновенной дроби записать некоторое количество девяток. При этом, количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби.

    В качестве примера, рассмотрим чистую периодическую дробь 0, (3) — ноль целых и три в периоде. Попробуем перевести её в обыкновенную дробь.

    Правило гласит, что в первую очередь в числитель обыкновенной дроби нужно записать период периодической дроби. Итак, записываем в числителе период дроби 0,(3) то есть тройку:

    А в знаменатель нужно записать некоторое количество девяток. При этом, количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби 0, (3).

    В периодической дроби 0, (3) период состоит из одной цифры 3. Значит в знаменателе обыкновенной дроби записываем одну девятку:

    Полученную дробь можно сократить на 3, тогда получим следующее:

    Получили обыкновенную дробь .

    Таким образом, при переводе периодической дроби 0, (3) в обыкновенную дробь получается

    Пример 2. Перевести периодическую дробь 0, (45) в обыкновенную дробь.

    Здесь период составляет две цифры 4 и 5. Записываем эти две цифры в числитель обыкновенной дроби:

    А в знаменатель записываем некоторое количество девяток. Количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби 0, (45).

    В периодической дроби 0, (45) период состоит из двух цифр 4 и 5. Значит в знаменателе обыкновенной дроби записываем две девятки:

    Полученную дробь можно сократить эту дробь на 9, тогда получим следующее:

    Таким образом, при переводе периодической дроби 0, (45) в обыкновенную дробь получается

    Перевод смешанной периодической дроби в обыкновенную дробь

    Чтобы перевести смешанную периодическую дробь в обыкновенную дробь, нужно в числителе записать разность в которой уменьшаемое это цифры, стоящие после запятой в периодической дроби, а вычитаемое — цифры, стоящие между запятой и первым периодом периодической дроби.

    В знаменателе же нужно записать некоторое количество девяток и нулей. При этом, количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби, а количество нулей должно быть равно количеству цифр между запятой и периодом периодической дроби.

    Например, переведём смешанную периодическую дробь 0,31 (6) в обыкновенную дробь.

    Сначала запишем в числителе разность. Уменьшаемым будут все цифры, стоящие после запятой (включая и период), а вычитаемым будут цифры, стоящие между запятой и периодом:

    Итак, записываем в числителе разность:

    А в знаменателе запишем некоторое количество девяток и нулей. Количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби 0,31 (6)

    В дроби 0,31 (6) период состоит из одной цифры. Значит в знаменатель дроби записываем одну девятку:

    Теперь дописываем количество нулей. Количество нулей должно быть равно количеству цифр между запятой и периодом периодической дроби.

    В дроби 0,31 (6) между запятой и периодом располагается две цифры. Значит в знаменателе дроби должно быть два нуля. Дописываем их:

    Получили выражение, которое вычисляется легко:

    Получили ответ

    Таким образом, при переводе периодической дроби 0,31 (6) в обыкновенную дробь, получается

    Пример 2. Перевести смешанную периодическую дробь 0,72 (62) в обыкновенную дробь

    Сначала запишем в числителе разность. Уменьшаемым будут все цифры, стоящие после запятой (включая и период), а вычитаемым будут цифры, стоящие между запятой и периодом:

    Итак, записываем в числителе разность:

    А в знаменателе запишем некоторое количество девяток и нулей. Количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби 0,72 (62)

    В дроби 0,72 (62) период состоит из двух цифр. Значит в знаменатель дроби записываем две девятки:

    Теперь дописываем количество нулей. Количество нулей должно быть равно количеству цифр между запятой и периодом периодической дроби.

    В дроби 0,72 (62) между запятой и периодом располагаются две цифры. Значит в знаменателе дроби должно быть два нуля. Дописываем их:

    Получили выражение, которое вычисляется легко:

    Получили ответ

    Значит при переводе периодической дроби 0,72 (62) в обыкновенную дробь, получается

    Понравился урок?
    Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

    Периодические десятичные дроби

    10 февраля 2012

    Помните, как в самом первом уроке про десятичные дроби я говорил, что существуют числовые дроби, не представимые в виде десятичных (см. урок «Десятичные дроби»)? Мы еще учились раскладывать знаменатели дробей на множители, чтобы проверить, нет ли там чисел, отличных от 2 и 5.

    Так вот: я наврал. И сегодня мы научимся переводить абсолютно любую числовую дробь в десятичную. Заодно познакомимся с целым классом дробей с бесконечной значащей частью.

    Периодическая десятичная дробь — это любая десятичная дробь, у которой:

    1. Значащая часть состоит из бесконечного количества цифр;
    2. Через определенные интервалы цифры в значащей части повторяются.

    Набор повторяющихся цифр, из которых состоит значащая часть, называется периодической частью дроби, а количество цифр в этом наборе — периодом дроби . Остальной отрезок значащей части, который не повторяется, называется непериодической частью .

    Поскольку определений много, стоит подробно рассмотреть несколько таких дробей:

    Эта дробь встречается в задачах чаще всего. Непериодическая часть: 0; периодическая часть: 3; длина периода: 1.

    Непериодическая часть: 0,58; периодическая часть: 3; длина периода: снова 1.

    Непериодическая часть: 1; периодическая часть: 54; длина периода: 2.

    Непериодическая часть: 0; периодическая часть: 641025; длина периода: 6. Для удобства повторяющиеся части отделены друг от друга пробелом — в настоящем решении так делать не обязательно.

    Непериодическая часть: 3066; периодическая часть: 6; длина периода: 1.

    Как видите, определение периодической дроби основано на понятии значащей части числа. Поэтому если вы забыли что это такое, рекомендую повторить — см. урок «Умножение и деление десятичных дробей».

    Переход к периодической десятичной дроби

    Рассмотрим обыкновенную дробь вида a / b . Разложим ее знаменатель на простые множители. Возможны два варианта:

    1. В разложении присутствуют только множители 2 и 5. Эти дроби легко приводятся к десятичным — см. урок «Десятичные дроби». Такие нас не интересуют;
    2. В разложении присутствует что-то еще, кроме 2 и 5. В этом случае дробь непредставима в виде десятичной, зато из нее можно сделать периодическую десятичную дробь.

    Чтобы задать периодическую десятичную дробь, надо найти ее периодическую и непериодическую часть. Как? Переведите дробь в неправильную, а затем разделите числитель на знаменатель «уголком».

    При этом будет происходить следующее:

    1. Сначала разделится целая часть, если она есть;
    2. Возможно, будет несколько чисел после десятичной точки;
    3. Через некоторое время цифры начнут повторяться.

    Вот и все! Повторяющиеся цифры после десятичной точки обозначаем периодической частью, а то, что стоит спереди — непериодической.

    Задача. Переведите обыкновенные дроби в периодические десятичные:

    Все дроби без целой части, поэтому просто делим числитель на знаменатель «уголком»:

    Как видим, остатки повторяются. Запишем дробь в «правильном» виде: 1,733 . = 1,7(3).

    В итоге получается дробь: 0,5833 . = 0,58(3).

    Записываем в нормальном виде: 4,0909 . = 4,(09).

    Получаем дробь: 0,4141 . = 0,(41).

    Переход от периодической десятичной дроби к обыкновенной

    Рассмотрим периодическую десятичную дробь X = abc ( a 1 b 1 c 1). Требуется перевести ее в классическую «двухэтажную». Для этого выполним четыре простых шага:

    1. Найдите период дроби, т.е. подсчитайте, сколько цифр находится в периодической части. Пусть это будет число k ;
    2. Найдите значение выражения X · 10 k . Это равносильно сдвигу десятичной точки на полный период вправо — см. урок «Умножение и деление десятичных дробей»;
    3. Из полученного числа надо вычесть исходное выражение. При этом периодическая часть «сжигается», и остается обычная дробь;
    4. В полученном уравнении найти X . Все десятичные дроби переводим в обыкновенные.

    Задача. Приведите к обыкновенной неправильной дроби числа:

    Работаем с первой дробью: X = 9,(6) = 9,666 .

    В скобках содержится лишь одна цифра, поэтому период k = 1. Далее умножаем эту дробь на 10 k = 10 1 = 10. Имеем:

    10 X = 10 · 9,6666 . = 96,666 .

    Вычитаем исходную дробь и решаем уравнение:

    10 X − X = 96,666 . − 9,666 . = 96 − 9 = 87;
    9 X = 87;
    X = 87/9 = 29/3.

    Теперь разберемся со второй дробью. Итак, X = 32,(39) = 32,393939 .

    Период k = 2, поэтому умножаем все на 10 k = 10 2 = 100:

    100 X = 100 · 32,393939 . = 3239,3939 .

    Снова вычитаем исходную дробь и решаем уравнение:

    100 X − X = 3239,3939 . − 32,3939 . = 3239 − 32 = 3207;
    99 X = 3207;
    X = 3207/99 = 1069/33.

    Приступаем к третьей дроби: X = 0,30(5) = 0,30555 . Схема та же самая, поэтому я просто приведу выкладки:

    Период k = 1 ⇒ умножаем все на 10 k = 10 1 = 10;

    10 X = 10 · 0,30555 . = 3,05555 .
    10 X − X = 3,0555 . − 0,305555 . = 2,75 = 11/4;
    9 X = 11/4;
    X = (11/4) : 9 = 11/36.

    Наконец, последняя дробь: X = 0,(2475) = 0,2475 2475 . Опять же, для удобства периодические части отделены друг от друга пробелами. Имеем:

    k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10 000;
    10 000 X = 10 000 · 0,2475 2475 = 2475,2475 .
    10 000 X − X = 2475,2475 . − 0,2475 2475 . = 2475;
    9999 X = 2475;
    X = 2475 : 9999 = 25/101.

    Периодические дроби

    Существуют дроби, у которых в дробной части некоторые цифры бесконечно повторяются. Выглядят эти дроби следующим образом:

    Дроби такого вида называют периодическими. В данном уроке мы попробуем разобраться, что это за дроби, и как с ними работать.

    Получаем периодическую дробь

    Давайте попробуем разделить 1 на 3. Не будем подробно останавливаться на том, как это сделать. Этот момент подробно описан в уроке действия с десятичными дробями, в пункте деление меньшего числа на большее. Продвинутый уровень.

    Итак, делим 1 на 3

    Видно, что мы постоянно получаем остаток 1, далее приписываем к нему 0 и делим 10 на 3. И это повторяется снова и снова. В результате в дробной части каждый раз получается цифра 3. Деление 1 на 3 будет длиться бесконечно, поэтому разумнее будет остановиться на достигнутом.

    Такие дроби называют периодическими, поскольку у них присутствует период цифр, который бесконечно повторяется. Период цифр может состоять из нескольких цифр, а может состоять и из одной, как в нашем примере.

    В примере, который мы рассмотрели выше, период в дроби 0,33333 это цифра 3. Обычно такие дроби записывают сокращённо. Сначала записывают целую часть, затем ставят запятую и в скобках указывают период (цифру, которая повторяется).

    В нашем примере цифра, которая повторяется это цифра 3, она является периодом в дроби 0,33333. Поэтому сокращённая запись будет выглядеть так:

    Читается как «ноль целых и три в периоде»

    Пример 2. Разделить 5 на 11

    Это тоже периодическая дробь. Период данной дроби это цифры 4 и 5, эти цифры повторяются бесконечно. Сокращённая запись будет выглядеть так:

    Читается как «ноль целых и сорок пять в периоде»

    Пример 3. Разделить 15 на 13

    Здесь период состоит из нескольких цифр, а именно из цифр 153846. Для наглядности период отделён синей линией. Сокращённая запись для данной периодической дроби будет выглядеть так:

    Читается как: «одна целая сто пятьдесят три тысячи восемьсот сорок шесть в периоде».

    Пример 4. Разделить 471 на 900

    В этом примере период начинается не сразу, а после цифр 5 и 2. Сокращённая запись для данной периодической дроби будет выглядеть так:

    Читается как: «ноль целых пятьдесят две сотых и три в периоде».

    Виды периодических дробей

    Периодические дроби бывают двух видов: чистые и смешанные.

    Если в периодической дроби период начинается сразу же после запятой, то такую периодическую дробь называют чистой. Например, следующие периодические дроби являются чистыми:

    Видно, что в этих дробях период начинается сразу же после запятой.

    Если же в периодической дроби период начинается не сразу, а после некоторого количества не повторяющихся цифр, то такую периодическую дробь называют смешанной. Например, следующие периодические дроби являются смешанными:

    Видно, что в этих дробях период начинается не сразу, а после некоторого количества не повторяющихся цифр.

    Избавляемся от хвоста

    Подобно тому, как ящерица избавляется от хвоста, мы можем избавить периодическую дробь от повторяющегося периода. Для этого достаточно округлить эту периодическую дробь до нужного разряда.

    Например округлим периодическую дробь 0, (3) до разряда сотых. Чтобы увидеть сохраняемую и отбрасываемую цифру, временно запишем дробь 0, (3) не в сокращённом виде, а в полном:

    Вспоминаем правило округления. Если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.

    Значит периодическая дробь 0, (3) при округлении до сотых обращается в дробь 0,33

    Округлим периодическую дробь 6,31 (6) до разряда тысячных.

    Запишем эту дробь в полном виде, чтобы увидеть сохраняемую и отбрасываемую цифру:

    Вспоминаем правило округления. Если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

    Значит периодическая дробь 6,31 (6) при округлении до тысячных обращается в дробь 6,317

    Перевод чистой периодической дроби в обыкновенную дробь

    Перевод периодической дроби в обыкновенную это операция, которую мы будем применять довольно редко. Тем не менее, для нашего же развития желательно изучить и этот момент. А начнём мы с перевода чистой периодической дроби в обыкновенную дробь.

    Мы уже говорили, что если период в периодической дроби начинается сразу после запятой, такую дробь называют чистой.

    Чтобы перевести чистую периодическую дробь в обыкновенную дробь, нужно в числитель обыкновенной дроби записать период периодической дроби, а в знаменатель обыкновенной дроби записать некоторое количество девяток. При этом, количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби.

    В качестве примера, рассмотрим чистую периодическую дробь 0, (3) — ноль целых и три в периоде. Попробуем перевести её в обыкновенную дробь.

    Правило гласит, что в первую очередь в числитель обыкновенной дроби нужно записать период периодической дроби. Итак, записываем в числителе период дроби 0,(3) то есть тройку:

    А в знаменатель нужно записать некоторое количество девяток. При этом, количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби 0, (3).

    В периодической дроби 0, (3) период состоит из одной цифры 3. Значит в знаменателе обыкновенной дроби записываем одну девятку:

    Полученную дробь можно сократить на 3, тогда получим следующее:

    Получили обыкновенную дробь .

    Таким образом, при переводе периодической дроби 0, (3) в обыкновенную дробь получается

    Пример 2. Перевести периодическую дробь 0, (45) в обыкновенную дробь.

    Здесь период составляет две цифры 4 и 5. Записываем эти две цифры в числитель обыкновенной дроби:

    А в знаменатель записываем некоторое количество девяток. Количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби 0, (45).

    В периодической дроби 0, (45) период состоит из двух цифр 4 и 5. Значит в знаменателе обыкновенной дроби записываем две девятки:

    Полученную дробь можно сократить эту дробь на 9, тогда получим следующее:

    Таким образом, при переводе периодической дроби 0, (45) в обыкновенную дробь получается

    Перевод смешанной периодической дроби в обыкновенную дробь

    Чтобы перевести смешанную периодическую дробь в обыкновенную дробь, нужно в числителе записать разность в которой уменьшаемое это цифры, стоящие после запятой в периодической дроби, а вычитаемое — цифры, стоящие между запятой и первым периодом периодической дроби.

    В знаменателе же нужно записать некоторое количество девяток и нулей. При этом, количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби, а количество нулей должно быть равно количеству цифр между запятой и периодом периодической дроби.

    Например, переведём смешанную периодическую дробь 0,31 (6) в обыкновенную дробь.

    Сначала запишем в числителе разность. Уменьшаемым будут все цифры, стоящие после запятой (включая и период), а вычитаемым будут цифры, стоящие между запятой и периодом:

    Итак, записываем в числителе разность:

    А в знаменателе запишем некоторое количество девяток и нулей. Количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби 0,31 (6)

    В дроби 0,31 (6) период состоит из одной цифры. Значит в знаменатель дроби записываем одну девятку:

    Теперь дописываем количество нулей. Количество нулей должно быть равно количеству цифр между запятой и периодом периодической дроби.

    В дроби 0,31 (6) между запятой и периодом располагается две цифры. Значит в знаменателе дроби должно быть два нуля. Дописываем их:

    Получили выражение, которое вычисляется легко:

    Получили ответ

    Таким образом, при переводе периодической дроби 0,31 (6) в обыкновенную дробь, получается

    Пример 2. Перевести смешанную периодическую дробь 0,72 (62) в обыкновенную дробь

    Сначала запишем в числителе разность. Уменьшаемым будут все цифры, стоящие после запятой (включая и период), а вычитаемым будут цифры, стоящие между запятой и периодом:

    Итак, записываем в числителе разность:

    А в знаменателе запишем некоторое количество девяток и нулей. Количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби 0,72 (62)

    В дроби 0,72 (62) период состоит из двух цифр. Значит в знаменатель дроби записываем две девятки:

    Теперь дописываем количество нулей. Количество нулей должно быть равно количеству цифр между запятой и периодом периодической дроби.

    В дроби 0,72 (62) между запятой и периодом располагаются две цифры. Значит в знаменателе дроби должно быть два нуля. Дописываем их:

    Получили выражение, которое вычисляется легко:

    Получили ответ

    Значит при переводе периодической дроби 0,72 (62) в обыкновенную дробь, получается

    Понравился урок?
    Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

    Опубликовано / Май 28, 2018
    Рубрики:
    Блог